همریختی های بین حلقه های توابع پیوسته

این رساله در ابتدا ساختار درونی همریختی های میان حلقه های توابع پیوسته مورد مطالعه قرار گرفته است. با در نظر گرفتن این نکته که هر همریختی بین حلقه های توابع پیوسته با یک تابع پیوسته تولید می گردد اطلاعات مهمی از این نوع همریختی ها در اختیارمان قرار خواهد گرفت. یک کمیت بسیار مهم در یک همریختی حلقه ای، هسته آن همریختی است. نشان داده شده است که برای همریختی حلقه ای $phi:c(x)longrightarrow c(y)$، هسته $phi$ شکل ویژه ای دارد. به عبارت دیگر زیر مجموعه $asubseteq upsilon x$ وجود دارد به طوری که $ker(phi)=m^a$. همچنین هر ایدآل بسته که واجد این شرط باشد، هسته یک همریختی از حلقه $c(x)$ به توی یک حلقه توابع پیوسته خواهد بود (ر.ک. ef{1.2.5} ). سپس با استفاده از نتایج بدست آمده در مورد این نوع همریختی ها شرط لازم و کافی برای اینکه برای ایدآل $i$ در $c(x)$، حلقه خارج قسمتی $frac{c(x)}{i}$ با یک حلقه توابع پیوسته یکریخت باشد، بدست آمده است ( ef{1.2.6} ). به عنوان یک مثال خاص نشان داده شده است که شرط لازم و کافی برای این که حلقه $frac{c(x)}{c_f(x)}$ در یک حلقه توابع پیوسته نشانده شود این است که مجموعه نقاط منفرد فضای $x$ متناهی باشد. ادامه این بررسی ها به یافتن زیر حلقه هایی از $c(x)$ که با یک حلقه توابع پیوسته یکریخت هستند اختصاص داده شده است. نتیجه اساسی که در بسیاری از قسمت های فصل سوم نمود بسیاری خواهد داشت ef{1.3.7} می باشد. در ادامه کمی رویکرد خود را تعمیم داده و به بحث و بررسی در مورد زیر حلقه های خاصی در حلقه $c(x)$ پرداخته ایم. در واقع ادامه این اثر از دو بخش عمده تشکیل شده است. در بخش اول ایدآلهای $c(x)$ خود به عنوان یک حلقه مطرح خواهند شد. در بررسی ایدآل ها به عنوان یک حلقه، بسیاری از روش ها که در مورد حلقه $c(x)$ مفید می باشند، از قابلیت کافی برخوردار نخواهند بود. همچنین لزوماً ایدآل های واقع در یک ایدآل در $c(x)$ تشکیل یک ایدآل نمی دهند. در ابتدای این بخش به شناسایی ایدآل هایی پرداخته شده است که هر ایدآل در آن ها، ایدآلی ($z$-ایدآلی) از $c(x)$ می باشد. با استفاده از این توصیف، نتایجی در ارتباط با $p$-ایدآل ها بدست خواهند آمد و برخی ارتباط های میان ایدآل های کراندار نظیر $c_k(x)$ و $c_{psi}(x)$ با $c_f(x)$ (ساکل حلقه $c(x)$ ) را مشاهده خواهیم کرد. زیر حلقه $c_f^{infty}(x)$ را تعریف کرده و با استفاده از آن نشان می دهیم که $c_{infty}(x)$ یک حلقه منظم است اگر و تنها اگر بر حلقه $c_f^{infty}(x)$ منطبق گردد. همچنین نشان می دهیم که این گزاره معادل است با این که هر زیر مجموعه باز، موضعاً فشرده و $sigma$- فشرده، متناهی است( بهبودی از یک نتیجه در cite{aan}.) در ادامه نشان داده شده است که برای هر ایدآل در حلقه $c(x)$، مجموع دو ایدآل اول در آن ایدآل، یک ایدآل اول است اگر و تنها اگر $x$ یک $f$-فضا باشد. لذا مشاهده می کنیم که اگر $x$ یک $f$ فضا نباشد، همواره ایدآلی در $c(x)$ وجود دارد که دارای دو ایدآل اول با مجموعِ غیر اول می باشد. با در نظر گرفتن ایدآل های ماکسیمال در ایدآل $i$، مفهوم تفکیک پذیری را به ایدآل ها تعمیم داده ایم و نشان داده ایم که تفکیک پذیری ایدآل $i$ معادل است با چگال-تفکیک پذیری فضای $eta xsetminus heta(i)$. همچنین به بررسی ارتباط این مفهوم با $p$-ایدآل ها پرداخته ایم. انتهای این بخش را به بعد گلدیِ یک ایدآل اختصاص داده ایم. نشان داده شده است که بعد گلدی ایدآل $i$ با عدد حجره ای فضای توپولوژی $xsetminus delta(i)$ برابر است.بخش محوری این رساله، فصل سوم می باشد. در این قسمت به بررسی زیر حلقه هایی خواهیم پرداخت که از لحاظ ظاهر به ایدآل ها نزدیک هستند، اما دارای نسخه ای از $bbb{r}$ نیز می باشند. این حلقه ها به صورت $i+bbb{r}$ هستند. در ابتدا به بحث و بررسی ویژگی های کلی زیر حلقه هایی از این رسته خواهیم پرداخت. ویژگی هایی را بررسی می کنیم که می توان یا نمی توان همواره میان $c(x)$ و $i+bbb{r}$ مشترک ساخت. خواهیم دید که ایدآل $i$ در $c(x)$ وجود دارد به طوری که زیر حلقه $i+bbb{r}$ دارای دو ایدآل اول ($z$-ایدآل) با مجموع غیر اول (غیر $z$-ایدآل) است اگر و تنها اگر $x$ یک $f$-فضا extbf{نباشد}. با این وجود نشان می دهیم در فضای توپولوژی کاملاً منظم و دلخواه $x$، برای هر $z$-ایدآلِ $i$ در $c(x)$، مجموع هر دو $z$-ایدآل (ایدآل اول) در $i+bbb{r}$، یک $z$-ایدآل (ایدآل اول) است. همچنین برای هر ایدآل $i$ در $c(x)$، حلقه $i+bbb{r}$ نیز همانند $c(x)$، یک $pm^+$- حلقه است. پس از بررسی ویژگی های آشنا بر این زیر حلقه، هدف مان معطوف به بررسی و تخمین فاصله حلقه $i+bbb{r}$ از $c(x)$ با معیار های جبری خواهد شد. اولین معیار بررسی این گزاره است که زیر حلقه $i+bbb{r}$ یک زیر حلقه ماکسیمال است اگر و تنها اگر $x,yin upsilon x$ وجود داشته باشند به طوری که $i=m^xcap m^y$. همچنین نشان داده شده است که برای $pin eta xsetminus upsilon x$، بستار زیر حلقه $m^p+bbb{r}$ در توپولوژی یکنواخت هرگز در یک زیر حلقه ماکسیمال از $c(x)$ واقع نمی شود. بنابراین برای هر $pin eta x$، زیرحلقه $c(xcup {p})$ هیچ گاه مشمول در یک زیر حلقه ماکسیمال از $c(x)$ نمی باشد. این نکته ما را به این نتیجه جالب هدایت می کند که برای $pin eta xsetminus upsilon x$، حلقه $c(x)$ به عنوان یک $c(xcup {p})$- جبر، هرگز دارای مولد شمارا نیست. معیار بعدی در این بررسی مفهوم بستار جبری است. نشان می دهیم که حلقه $c(x)$ روی زیر حلقه $i+bbb{r}$ صحیح است اگر و تنها اگر $c(x)$ به عنوان یک $(i+bbb{r})$- جبر با مولد شمارا باشد و همچنین اگر و تنها اگر زیر مجموعه متناهی $asubseteq upsilon x$ وجود داشته باشد به طوری که $i=m^a$. در ادامه نشان داده شده است که زیر حلقه $i+bbb{r}$ در $c(x)$ بسته جبری است اگر و تنها اگر $i$ یک ایدآل نیم اول و $ heta(i)$ زیر مجموعه ای همبند از $eta x$ باشند. این قضیه ما را به این نتیجه هدایت می کند که برای $z$-ایدآل $i$ در $c(x)$ با این ویژگی که $ heta(i)$ دارای تعداد متناهی مولفه همبندی باشد، بستار زیر حلقه $i+bbb{r}$ در $c(x)$ شکلی ملموس خواهد داشت. در انتها با استفاده از مفهوم حلقه های خارج قسمت ها، نظر خود را معطوف به این پرسش خواهیم کرد که چه وقت حلقه $c(x)$ یک حلقه خارج قسمت ها از $i+bbb{r}$ است؟ نشان می دهیم که اگرچه $c(x)$ همواره یک حلقه خارج قسمت ها از $i+bbb{r}$ نمی باشد، زیر حلقه ای از $c(x)$ که خود با یک $c(y)$ یکریخت است وجود دارد به طوری که همواره یک حلقه خارج قسمت ها از $i+bbb{r}$ است. در نهایت این نتیجه ما را به این سوال که چه وقت حلقه $i+bbb{r}$ خود-انژکتیو است رهنمون می کند.}